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سيرة ذاتية مجهولة الهوية

ND-CV-9E5EBF0B

غير محدد

المغرب الهوية وبيانات الاتصال تقدمها NextData

CORRIGÉS [nom]

EXERCICES

1 Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire

2 Notions préliminaires II : Équations

3 Notions préliminaires III : Divers

4 Les fonctions d’une variable

5 Les propriétés [nom] fonctions

6 La dérivation

7 Les dérivées en action

8 Optimisation à une variable

9 Intégration

10 Sujets d’économie financière

11 Les fonctions de plusieurs variables

12 Outils de statique comparative

13 Optimisation à plusieurs variables

14 L’optimisation sous contraintes

15 Algèbre [nom] matrices et [nom] vecteurs

16 Déterminants et matrices inverses

17 Les programmes linéaires

111

122

136

144

154

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Mathématiques pour l’économie

Page i

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CORRIGÉS [nom]

EXERCICES

Chapitre 1 / Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire

1.1

(a) Vrai.

(b) Faux, 5 étant inférieur à 3, il est à gauche de 3 sur la droite [nom] nombres.

(d) Vrai.Tout entier naturel est rationnel. Par exemple, 5 = 5=1.

(e) Faux, car 3;1415 = 31 415=10 000, le quotient de deux entiers (3;1415 n’est qu’une approximation de ).

p · p

(f) Faux. Contre-exemple : 2 + ( · 2) = 0.

(g) Vrai.

(h) Vrai.

Il n’y a manifestement pas de suite finie de chiffres qui se répète continuellement puisqu’un 0 supplémentaire est ajouté entre deux 1 successifs :

1;[téléphone] : : :

1.2

(a) 10 3 = 10 10 10 = 1000

(b) ( 0;3) 2 = 0;09

(d) (0;1) 1 = 1=0;1 = 10

(a) 4 = 2 2

(b) 1 = 2 0

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2 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

(d) 1=16 = 2 4

(a) 15 3

1 3

(b)

(d) 10 7

(e) t 6

(f) (a b) 3

(g) a 2 b 4

(h) ( a) 3

(a) 2 5 2 5 = 2 5+5 = 2 10

(b) 3 8 3 2 3 3 = 3 8 2 3 = 3 3

(d) ( 3xy 2 ) 3 = ( 3) 3 x 3 (y 2 ) 3 = 27x 3 y 6 p 24 p 3

(a) · = p 24+3 4 1 = p 22 p 4 p a 4 b 3 · a 4 b 3

(b) · = 4 6 = a 4 4 b 3 ( 6) = b 3

(a b ) 2 · 3 2 · a b

3 (3 ) 4 · 2 6 · 3 4 3 12

( 3) 15 3 7 · 3 15 3 7

p (pq)

(d) 2 + 2 = p q 2

p · q

(a) 2 6 = 64

(b) 64=27

(d) x 9

(e) y 12

(f) 8x 3 y 3

(g) 10 2 = 1=100

(h) k 4

(i) (x + 1) 2

(a) Comme 4(3r) 2 = 43 2 r 2 = 9 (4 r 2 ), la surface de la sphère est amplifiée d’un facteur 9.

(b) Quand le rayon r augmente de 16 %, cela veut dire que r est multiplié par le facteur 1,16 et r 2 par le facteur (1;16) 2 = 1;3456. La surface augmente de 34;56 %.

(a) Faux. a 0 = 1.

(b) Vrai. c n = 1=c n pour tout c 6 = 0.

(d) Faux (sauf si m = 0 ou ab = 1). a m b m = (ab) m .

(e) Faux (sauf si m = 1). Par exemple, (a + b) 2 est égal à a 2 + 2ab + b 2 .

(f) Faux (sauf si a m b n = 1). Par exemple, a 2 b 3 n’est pas égal à (ab) 2+3 = (ab) 5 = a 5 b 5 :

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CHAPITRE 1 / Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire · 3

(a) x 3 y 3 = (xy) 3 = 3 3 = 27

(b) (ab) 4 = ( 2) 4 = 16

(d) ( 1) 2n = [( 1) 2 ] n = 1 n = 1

(a) 150 0;13 = 19;5

(b) 2 400 0;06 = 144

1;50 meilleur marché, ce qui est 15 % de 10.
(a) Un investissement initial de 50 e s’il est placé à un taux d’intérêt de 11% l’an, pendant 8 années, devient 50 (1;11) 8 115;23 e .

(b) Un investissement initial de 10 000 e placés à 12 % l’an, pendant 20 ans, devient

10 000 (1;[téléphone];93 e .

(c) 5 000 (1;07) 10 2 541;75 e est le montant que vous auriez dû investir il y a 10 ans pour avoir 5 000 e aujourd’hui, si le taux d’intérêt est resté constant à 7 %.

(a) 12 000 (1;[téléphone];32

(b) 50 000 (1;06) 5 37 362;91

p 95,3%, puisque (1;25) 3 = 1;9531.

1.3

(a) 1

(b) 6

(d) 18

(e) 3x + 12

(f) 45x 27y

(g) 3

(h) 0

(i) 1

(a) 3a 2 5b

(b) 2x 2 + 3x + 4y

(d) 2r 3 6r 2 s + 2s 3

(a) 3n 2 + 6n 9

(b) x 5 + x 2

(d) 18a 3 b 3 + 30a 3 b 2

(e) a 3 b ab 3

(f) x 3 6x 2 y + 11xy 2 · 6y 3

(a) acx 2 + (ad + bc) x + bd

(b) 4 t 4

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4 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

(a) (2t · 1) (t 2 · 2t + 1) = 2t (t 2 · 2t + 1) · (t 2 · 2t + 1) = 2t 3 · 4t 2 + 2t · t 2 + 2t · 1 = 2t 3 · 5t 2 + 4t · 1 (b) (a + 1) 2 + (a 1) 2 2 (a + 1) (a 1) = a 2 + 2a + 1 + a 2 2a + 1 2a 2 + 2 = 4. Sinon, on applique l’identité du deuxième degré x 2 + y 2 2xy = (x y) 2 avec x = a + 1 et y = a 1 et on obtient (a+1) 2 +(a 1) 2 2 (a+1) (a 1) = [(a+1) (a 1)] 2 = 2 2 = 4.

= x (x + y + z) + y (x + y + z) + z (x + y + z)

= x 2 + xy + xz + yx + y 2 + yz + zx + zy + z 2

= x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2xz + 2yz

(d) Avec a = x + y + z et b = x y z,

(x + y + z) 2 (x y z) 2 = a 2 b 2 = (a + b) (a · b) = 2x (2y + 2z) = 4x (y + z):

(a) x 2 + 4xy + 4y 2

(b) 1=x 2 2 + x 2

(d) 4z 2 25w 2

(a) 201 2 199 2 = (201 + [téléphone]) = 400 2 = 800 (b) u 2 4u + 4 = (u 2) 2 = 1 de sorte que u 2 = ˙1 et u = 1 ou u = 3.

(a + 1) 2 (a 1) 2 a 2 + 2a + 1 (a 2 2a + 1) 4a a

(b + 1) 2 (b 1) 2 b 2 + 2b + 1 (b 2 2b + 1) 4b b

1 000 2 · 1 000 2 · 1 000 2

· = · = · = 500

[téléphone] + 248) (252 · 248) 500 4

(a) (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) = (a 2 + 2ab + b 2 ) (a + b) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (b) (a b) 3 = (a b) 2 (a b) = (a 2 2ab + b 2 ) (a b) = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 (c) et (d) : Développer les membres de droite.
(a) 3 7 xxyyy

(b) 3 (x 3y + 9z)

(d) 2 2 2xy (xy · 2)

(a) 2 2 7aabbb

(b) 2 2 (x + 2y 6z)

(d) 2aabb (3a + 2b)

(e) 7x (x 7y)

(f) 5xyy (1 3x) (1 + 3x)

(g) (4 + b) (4 b)

(h) 3 (x + 2) (x 2)

(a) (x 2) (x 2)

(b) 2 2ts (t 2s)

(d) 5x (x + 2y) (x · 2y)

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CHAPITRE 1 / Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire · 5

(a) a 2 + 4ab + 4b 2 = (a + 2b) 2 par l’identité du second degré.

(b) KL(K L)

(d) 9z 2 16w 2 = (3z 4w) (3z + 4w), selon la formule de la différence de deux carrés.

(e) 5 1 x 2 + 2xy 5y 2 = 15 (x 2 10xy + 25y 2 ) = 15 (x 5y) 2

(f) a 4 b 4 = (a 2 b 2 ) (a 2 + b 2 ), grâce à la formule de la différence de deux carrés.

Comme a 2 b 2 = (a b) (a + b), a 4 b 4 = (a b) (a + b) (a 2 + b 2 ).

(a) (5 + a) (x + y)

(b) u 2 v 2 + 3 (u + v) = (u + v) (u · v) + 3 (u + v) = (u + v) (u · v + 3)

(a) KK (K L)

(b) KL(L 2 + 1)

(d) (K L) (K L)

(e) KL (K 2L) (K 2L)

(f) K 6 (K 3 1) = K 6 (K 1) (K 2 + K + 1), grâce à la formule de l’exercice 9(c).

1.4

(a) 2/7

(b) 13/12

(d) 2/25

(e) 9/5

(f) 1/2

(g) 1/2

(h) 11/27

(a) 3x=2

(b) 3a=5

(d) 12 ( 5x + 11)

(e) 1=(6b)

(f) 1=b

(a) 5 5 13 · = 13

5 5 5 5 25 ab 2

(b)

8c 2

P (P + Q) (P Q) P (P Q)

(d) · =

(P + Q) 2 · P + Q

(a) 1/2

(b) 6

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6 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

(d) 9/2

1 · 1 · x +2 · x 2 · x +2 x +2 · 4

(a) · = · = · = 2 x 2 x + 2 (x 2) (x + 2) (x + 2) (x 2) (x 2) (x + 2) x · 4 (b) Comme 4x + 2 = 2 (2x + 1) et 4x 2 1 = (2x + 1) (2x 1), le plus petit dénominateur commun est 2 (2x + 1) (2x 1). Ensuite,

6x + 25 · 6x 2 + x 2 (6x + 25) (2x 1) 2 (6x 2 + x 2)

4x + 2 · 4x 2 1 · 2 (2x + 1) (2x 1)

42x 21 · 21

= · = · :

2 (2x + 1) (2x 1) 2 (2x + 1)

18b 2 · a · 18b 2 a (a 3b) + 2 (a 2 9b 2 )

a 2 9b 2 · a + 3b · (a + 3b) (a 3b)

a (a + 3b) · a

= · =

(a + 3b) (a 3b) a 3b

1 · 1 · (a + 2) a · 2 · 1

(d) · = · = · =

8ab 8b (a + 2) 8ab (a + 2) 8ab (a + 2) 4ab (a + 2)

2t t 2 · 5t · 2t · t (2 t ) · 3t · t (t 2) · 3t · 3t 2

(e) · t +2 · t 2 t 2 · = · t +2 t 2 = · t +2 t 2 t +2 =

1 · 1

a 1 2a · a

(f) · = 1 2 = 4a 2, de sorte que

0;25

a 1 2a

2 · =2 · (4a · 2) = 4 · 4a = 4 (1 · a):

0;25

2 · 1 · 2 (x + 1) + x 3x (x + 1) · 2 3x 2

(a) · + · 3= · = x x +1 · x (x + 1) · x (x + 1) t · t · t (2t 1) t (2t + 1) · 2t

(b) · = · = 2

2t + 1 2t 1 · (2t + 1) (2t 1) · 4t · 1

3x · 4x · 2x 1 · 3x (x 2) + 4x (x + 2) (2x 1) 7x 2 + 1

x + 2 2 x (x 2) (x + 2) · (x 2) (x + 2) · x · 4

1 1 · 1 1

+ · + · xy

x y · x y · y + x

(d) · = · = · = x + y

1 · 1 · 1

xy · xy xy

1 · 1 · 1 · 1

x 2 y 2 · x 2 y 2 x 2 y 2 · y 2 x 2

= ·

(e) · = 2

1 · 1 · 1 · 1 · y + x 2

x 2 + 2 y · x 2 + 2 x 2 y 2 y

(f) Réduire les fractions du numérateur et du dénominateur au dénominateur com-mun xy, puis simplifier.

a (y x) y x

a (y + x) · y + x

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CHAPITRE 1 / Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire · 7

x 2 + 2xy 3y 2

(a) 4 1 · 2 2

1 · 5 · 4 · 1 · 1 · 1 · 1 · = 20 2 = 400.

5 = 20 · 20 = 20 . De là, · 4 · 5 · = · 20

n · n n · n 2 · n (n · 1) n 2 · n

(b) n · = n · = n · = · =

1 · n · 1 · n 1 · n 1

1 · n · 1 · n n

1 · 1 · 1 · 1 · 1 · u

+ · = · + · = · + · = 1:

1 + x p q 1 + x q p 1 + u 1 + 1=u 1 + u 1 + u

1 · 1

+ · (x 2 1)

x 1 · x 2 1 · (x + 1) + 1

(d) · = 3

2 · x · x 2x + 2

x · (x 2 1)

x +1

x +2 · 1

= · =

(x + 2) (x 2 2x + 1) (x 1) 2

1 · 1 · x 2 (x + h) 2 · 2xh h 2

(e) · = · = · , de sorte que

(x + h) 2 · x 2 · x 2 (x + h) 2 · x 2 (x + h) 2

1 · 1

(x + h) 2 · x 2 · 2x · h

= · :

h · x 2 (x + h) 2

(f) En multipliant numérateur et dénominateur par x 2 · 1 = (x + 1) (x · 1), il vient

10x 2 · 2x

= · :

5x (x 1) x 1

Exercices récapitulatifs du chapitre 1

(a) 5 3 = 5 5 5 = 125

(b) 10 3 = 1=10 3 = 1=1 000 = 0;001

(d) 1 000

(e) 3

(f) (3 2 ) 3 = 3 6 = 729

(g) 1

(h) · 2 · = ( 1 1 ) 3 = 1 1 = 8

2 · 8

(a) 1

(b) Non défini.

(d) 1

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8 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

(a) 2 6 = 1=64

(b) 2 3 34 = 4 3

(d) 1

(a) (2x) 4 = 2 4 x 4 = 16x 4

(b) 2 1 4 1 = 2 1 4 1 = 4 1 , de sorte que (2 1 · 4 1 ) 1 = 4.

(d) ( ab 3 ) 3 = ( 1) 3 a 3 b 9 = a 3 b 9 , de sorte que

[ ( ab 3 ) 3 (a 6 b 6 ) 2 ] 3 = [a 3 b 9 a 12 b 12 ] 3 = [a 9 b 3 ] 3 = a 27 b 9 :

a 5 a 3 a 2 a 6

(e) · = 3 = a 3

a 3 a 6 a 3 3 3 3

x 3 · 8 · x · 8 · x

(f) · 2 · = · 2 · = · = (x 5 ) 3 = x 15

2 · x · 8 · x · x 2

(a) 0;12 300 = 36

(b) 0;05 2 000 = 100

(a) Une population de 100 millions d’individus qui croı̂t de 1% par an compte, après 8 ans, 100 (1;01) 8 108 millions d’individus.

(b) Au taux d’intérêt annuel fixé de 15 %, un investissement initial de 50 000 e sera devenu après 10 ans 50 000 (1;[téléphone] e .

(c) 6 000 (1;03) 8 4 736 e est la somme que vous auriez dû déposer il y a 8 ans pour avoir aujourd’hui 6 000 e , au taux de 3 %.

(a) 100 000 (1;[téléphone]

(b) 25 000 (1;08) 6 15 754

(a) a 2 a

(b) x 2 p + 4x p 21 p (c) · 3 p 3 · 6 = 3+ 3 6= 3+ 3 3 2= 3+3 2 p p · p p p · p

(d) 3 2 2

(e) x 3 3x 2 + 3x 1

(f) 1 b 4

(g) (1 + x + x 2 + x 3 ) (1 x) = (1 + x + x 2 + x 3 ) (1 + x + x 2 + x 3 ) x = 1 x 4

(h) (1 + x) 4 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 = (1 + 2x + x 2 ) (1 + 2x + x 2 ) = x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1

(a) x 3 y 3 = (x 1 y 1 ) 3 = 3 3 = 1=27

(b) (x 3 ) 6 (x 2 ) 2 = x 18 x 4 = x 14 = (x 7 ) 2 = 2 2 = 1=4

(d) (abc) 4 = (a 1 b 1 c 1 ) 4 = (1=4) 4 = 4 4 = 256

(a) 5 (5x 1)

(b) xx

p (3 xy) p

(d) a (a 2b) 2

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CHAPITRE 1 / Notions préliminaires I : Algèbre élémentaire · 9

(a) (5 + a) (x + 2y)

(b) (a + b) (c d )

(d) 2x 2 5yz + 10xz xy = 2x 2 + 10xz (xy + 5yz) = 2x (x + 5z) · y (x + 5z)

= (2x · y) (x + 5z)

(e) p 2 · q 2 + p · q = (p q) (p + q) + (p q) = (p q) (p + q + 1)

(f) u 3 + v 3 · u 2 v · v 2 u = u 2 (u v) + v 2 (v u) = (u 2 v 2 ) (u v)

= (u + v) (u · v) (u · v) = (u + v) (u · v) 2

(a) 16 1=4 = 4 16 = 2 p

(b) 243 1=5 = 1= 5 243 = 1=3 p

(d) 4 3=2 = 1=8

(e) 64 1=3 + 3 125 = 4 + 5 = 9 p p

(f) ( 8=27) 2=3 = ( 3 8=27 ) 2 = ( 2=3) 2 = 4=9

(g) ( 1=8) 2=3 + (1=27) 2=3 = ( 3 1=8 ) 2 + ( 3 1=27 ) 2 p · p

= ( 1=2) 2 + (1=3) 2 = 4 + 9 = 13:

1 000 2=[téléphone] p

(h) p 3 5 3 · = · 5 1 · = 5 1 = 20

(a) 8 = 2 3 , de sorte que x = 3=2.

(b) 1=81 = 3 4 , de sorte que 3x + 1 = 4 ou x = 5=3.

(a) 5 + x = 3, de sorte que x = 2.

(b) 3 x 3 x 2 = 3 x 2 (3 2 1) = 3 x 2 8, de sorte que 3 x 2 = 3 et donc x = 3.

(d) 3 5 + 3 5 + 3 5 = 3 3 5 = 3 6 de sorte que x = 6.

(e) 4 6 + 4 6 + 4 6 + 4 6 = 4 4 6 = 4 5 de sorte que x = 5.

[téléphone]

(f) 26 · = 23 3 · = de sorte que x = 7.

2 + 2 23 · 2 (2 + 1) 9

s · s · s(2s + 1) s(2s 1) · 2s

(a) · = · = 2

2s 1 2s + 1 · (2s 1) (2s + 1) · 4s · 1

x · 1 x · 24 · x (x + 3) (1 x) (x 3) 24

(b) · =

3 x · x + 3 x 2 9 · (x 3) (x + 3)

7 (x + 3) · 7

= · =

(x 3) (x + 3) x 3

y · x · y x · 1

= · = · :

y 2 · x 2 (y x) (y + x) x + y

(a) Simplifier par le facteur 25ab.

(b) x 2 y 2 = (x + y) (x y). Simplifier par x + y.

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10 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

(2a 3b) 2 · 2a 3b

(2a 3b) (2a + 3b) 2a + 3b

4x x 3 · x (2 x) (2 + x) x (2 + x)

(d) · = · =

4 4x + x 2 · (2 x) 2 · 2 x

(a) x < 13=2

(b) y > 3

(d) x < 29=14

(e) p 1 6 x 6 13=3 p · p · p

(f) · 6 6 x 6 · 2 ou 2 6 x 6 6.

(a) 30 + 0;16x

(b) Au minimum 7;5 heures. Au maximum 10 heures.

2(r +1) 2 r = 2, où r est le rayon de la Terre (supposée sphérique). Le supplément de corde est seulement de 6,28 m !
(a) Poser p=100 = r. Alors, l’expression donnée devient a +ar (a +ar)r = a (1 r 2 ), comme demandé.

(b) 2 000 1;05 0;95 = 1 995 e .

(d) Avec la notation utilisée en (a), on a : a ar + (a ar)r = a (1 r 2 ), ce qui est la même expression qu’en (a).

(a) Non, par exemple, 1 > 2, mais ( 1) 2 < ( 2) 2 .

(b) On suppose a > b ou a b > 0. Si a + b > 0, alors a 2 · b 2 = (a + b) (a · b) > 0,

de sorte que a 2 > b 2 .

(a) 2 > 1 et 1=2 < 1=1. Aussi, 1 > 2 et 1=( 1) < 1=2. Par ailleurs, 2 > 1 et 1=2 > 1=( 1).

(b) Si ab > 0 et a > b, alors 1=b 1=a = (a b)=ab > 0, de sorte que 1=b > 1=a.

(Aussi, si ab < 0 et a > b, alors 1=b 1=a = (a b)=ab < 0 de sorte que 1=b < 1=a.)

p · p · p p

(i) Quel que soit c, jcj = c 2 . Ensuite jabj = (ab) 2 = a 2 b 2 = a 2 b 2 = jajjbj.

(ii) De deux choses l’une, ou a = jaj, ou a = jaj, de sorte que jaj 6 a 6 jaj. De même, jbj 6 b 6 jbj. L’addition de ces inégalités conduit à jaj jbj 6 a + b 6 jaj + jbj et donc ja + bj 6 jaj + jbj.

Chapitre 2 / Notions préliminaires II : Équations

2.1

(a) x = 5

(b) x = 3

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CHAPITRE 2 / Notions préliminaires II : Équations · 11

(d) N’importe quelle valeur de x est une solution.

(e) x = 12

(f) x = 1

(g) x = 5. (Suggestion : x 2 + 10x + 25 = (x + 5) 2 .)

(h) x = 1

(a) x = 3

(b) x = 7

(d) x = 5=11

(e) x = 1

(f) x = 121

(a) On remarque d’abord que l’équation n’a pas de sens pour x = 3 et x = · 4. En multipliant l’équation par le dénominateur commun (x + 3) (x + 4), on obtient

(x · 3) (x + 4) = (x + 3) (x · 4);

c’est-à-dire x 2 + x 12 = x 2 x 12, et donc x = 0.

(b) En multipliant l’équation par le dénominateur commun (x 3) (x + 3), on obtient

3 (x + 3) 2 (x 3) = 9, d’où x = 6.

18x 2 75 = 10x 2 15x + 8x 2 ;

d’où x = 5.

(a) 2x + 5 = x 3. Solution : x = 8.

(b) Avec x le plus petit possible, x + (x + 1) + (x + 2) = 10 + 2x, de sorte que x = 7 et les nombres sont 7, 8 et 9.

Solution : x = 14.

(d) 1 500 + 12x=100 = 2 100. Solution : x = 5 000.

(e) 23 x + 4 1 x + 100 000 = x. Solution : x = 1 200 000.

(a) En multipliant l’équation par le dénominateur commun 12, on obtient

9y · 3 · 4 + 4y + 24 = 36y

et ainsi y = 17=23.

(b) En multipliant l’équation par le dénominateur commun 2x (x + 2), on obtient

8 (x + 2) + 6x = 2 (2x + 2) + 7x, d’où x = 4.

2 2z z · 6

= · :

(1 z) (1 + z) 2z + 1

En multipliant chaque membre par (1 z 2 ) (2z +1), on obtient (2 3z) (2z +1) = 6 6z 2 , et ainsi z = 4.

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12 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

(d) En effectuant les produits,

p · 3 · 1 p · 1 p · 1

+ · + =

4 · 8 · 4 12 · 3 3 · 3

puis, en multipliant par le dénominateur commun 24, on obtient l’équation

6p · 9 · 6 + 2p · 8 + 8p = · 8;

dont la solution est p = 15=16.

2.2

(a) On multiplie les deux membres par abx pour obtenir b + a = 2abx. De là, b + a · b · a · 1 1 1 x = · = · + · = · + · :

2ab · 2ab 2ab 2 a b

(b) On multiplie l’équation par cx + d pour obtenir ax + b = cAx + dA, qui s’écrit aussi

(a cA) x = dA b et donc x = (dA b)=(a cA).

(c) On multiplie l’équation par x 1=2 pour obtenir 2 1 p = wx 1=2 , d’où x 1=2 = p=2w. En élevant chaque membre au carré, x = p 2 =4w 2 .

(d) On multiplie chaque membre par 1 + x pour obtenir 1 + x + ax = 0, de sorte que p x = 1=(1 + a).

(e) x 2 = b 2 =a 2 , de sorte que x = ˙ . a (f) On voit immédiatement que x = 0.

(a) p = 20q=3 14=15

(b) P = (S ˛)=ˇ

(d) r = (3V =4) 1=3

(e) L = (Y 0 A 1 K ˛ ) 1=ˇ

(a) ˛x a = ˇx b si et seulement si (˛ ˇ) x = a b de sorte que x = (a b)=(˛ ˇ).

(b) Y = 94 + 0;2 (Y (20 + 0;5Y )) = 94 + 0;2Y 4 0;1Y , de sorte que 0;9Y = 90, soit Y = 100.

(d) On élève chaque membre à la puissance quatrième

K 2 · K = Q 4

1=3

de sorte que K 3 = 2wQ 4 =r et, de là, K = 2wQ 4 =r · :

(e) En multipliant numérateur et dénominateur dans la fraction du membre de gauche par 4K 1=2 L 3=4 , on obtient 2L=K = r=w, d’où on tire L = rK=2w.

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CHAPITRE 2 / Notions préliminaires II : Équations · 13

1 4 p K 1 (r=2w) = r 4 . Il

(f) On élève chaque membre à la puissance quatrième, 16

1 · 3 · 4 · 1 4 3 · 1

s’ensuit que K = 32r w=p , puis K = 32 p r w .

1 1 · 1 T t · tT

(a) · = · = · , de sorte que s = · . s p t

T · tT · T t

(b) KLM = B + ˛L, de sorte que KLM = (B + ˛L) 2 et M = (B + ˛L) 2 =KL.

(c) Multiplier les deux membres par x z conduit à x 2y + xz = 4xy 4yz ou (x + 4y) z = 4xy x + 2y et z = (4xy x + 2y)=(x + 4y).

(d) V = C C T =N , de sorte que C T =N = C V et donc T = N (1 V =C ).

Exercices récapitulatifs du chapitre 2

(a) x = 12

(b) x = 3

(d) x = 19

(e) x = 11=7

(f) x = 39

(a) En supposant x 6 = ˙4, on multiplie par le dénominateur commun (x 4) (x + 4).

Cela réduit l’équation à x = x, de sorte que x = 0.

(b) L’équation donnée n’a de sens que si x 6 = ˙3. Si on multiplie par le dénominateur commun (x + 3) (x 3), on obtient 3 (x + 3) 2 2 (x 2 9) = 9x + 27 ou x 2 + 9x + 18 = 0, avec comme solutions x = 6 et x = 3. La seule solution est donc x = 6.

(d) À condition que x 6 = 0 et x 6 = ˙5, on multiplie par le dénominateur commun x (x 5) (x + 5) pour obtenir x (x 5) 2 x (x 2 25) = x 2 25 (11x + 20) (x + 5).

Le développement [nom] deux membres conduit à

x 3 · 10x 2 + 25x · x 3 + 25x = x 2 · 25 · 11x 2 · 75x · 100

et après simplification 50x = · 125 · 75x, dont la solution est x = · 1.

(a) x = 23 (y 3) + y = 23 y 2 + y = 53 y 2 ou 53 y = x + 2, de sorte que y = 5 3 (x + 2). ax cx = b + d , ou (a c) x = b + d , de sorte que x = (b + d )=(a c).

(b) p

(d) qy = m px, de sorte que y = (m px)=q.

(e) On pose s = 1=(1 + r). Alors s = (a + bc)=(1 c), de sorte que

r = (1=s) · 1 = [(1 · a) · c(1 + b)]=(a + bc):

(f) En multipliant par (P x + Q) 1=3 , on obtient P x + P x + Q = 0, de sorte que x = Q=2P .

(a) De (ii) et (iii), C = b (Y · t Y ) = b (1 · t )Y . On introduit dans (i) et on résout par rapport à Y I + G Y = · :

1 b (1 t )

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14 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

Alors

b (1 t ) ( I + G)

C = · :

1 b (1 t )

(b) Notez que 0 < b (1 t ) < 1. Lorsque t augmente, Y et 1 · t diminuent de sorte

que C = b (1 t )Y diminue aussi.

(a) Multiplier l’équation par 5K 1=2 pour obtenir 15L 1=3 = K 1=2 . Élever les deux mem- bres au carré, K = 225L 2=3 .

(b) Élever chaque membre à la puissance 1=t pour obtenir 1 + r=100 = 2 1=t et ainsi r = 100 (2 1=t 1).

(d) Élever chaque membre à la puissance pour obtenir (1 ) a + b = c ou b = 1 (c (1 ) a ). Enfin, élever à la puissance 1=.

(a) z = 0 ou z = 8.

(b) x = 7 ou x = 5.

(d) p = 1=4 p ou p = 1=3.

(e) y = 4 ˙ 31

(f) x = 7 ou x = 6.

5 3x = 25 y+2 = 5 2 (y+2) de sorte que 3x = 2 (y + 2). Avec x · 2y = 8, cela donne x = · 2 et y = 5, de sorte que x y = 3.
(a) Soit u = 1=x et v = 1=y. Alors, le système devient 2u + 3v = 4, 3u 2v = 19, avec comme solution u = 5, v = 2 et, de là, x = 1=u = 1=5, y = 1=v = 1=2.

(b) Soit u = x et v = y. Alors, le système devient 3u + 2v = 2, 2u 3v = 1=4, p · p

avec comme solution u = 1=2, v = 1=4, et, de là, x = 1=4, y = 1=16.

(c) Avec u = x 2 et v = y 2 , on obtient u + v = 13, 4u 3v = 24, avec comme solution u = 9, v = 4 et, de là, x = ˙3 et y = ˙2.

Chapitre 3 / Notions préliminaires III : Divers

3.1

(a) 1 + 2 + 3 + + 10 = 55

(b) (5 3 0 2) + (5 3 1 3) + (5 3 2 4) + (5 3 3 5) + (5 3 4 · 6) = 585

0 · 1 · 2

(d) 2 2 + 2 2 + 2 2 = 2 1 + 2 2 + 2 4 = 22

(e) 2 10 = 20

(f) 2=1 + 3=2 + 4=3 + 5=4 = 73=12

p · p · p · p · p · p · p

(a) 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 = 2 (3 + 2 + 3) (b) (x + 0) 2 + (x + 2) 2 + (x + 4) 2 + (x + 6) 2 = 4 (x 2 + 6x + 14) (c) a 1i b 2 + a 2i b 3 + a 3i b 4 + + a ni b n+1 (d) f (x 0 )x 0 + f (x 1 )x 1 + f (x 2 )x 2 + + f (x m )x m
Regardez le dernier terme de la somme et remplacez n par k pour obtenir une expression du k-ième terme. Notez-le s k . La somme est nk=1 s k . P

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CHAPITRE 3 / Notions préliminaires III : Divers · 15

(a) X 4k k=1 n

(b) X k 3 k=1 n

2k + 1 k=0 n

(d) X a i k b kj

k=1 · 5

(e) Les coefficients sont les puissances de 3 X 3 n x n .

p · n=1

(f) · a i b i +j

j =3

(g) X a i k+3 +k b i +k+3 k=0

(h) L’astuce est de voir que chaque terme a 198 unités de plus que le précédent

X (81 297 + 198k):

k=0

10 · 8

(a) X (k · 2)t k = X mt m+2 k=1 · m= 1

N · N +1

(b) X 2 n+5 = X 32 2 j 1

n=0 · j =1

(a) Le nombre total de travailleurs issus du pays i qui ont transféré leur lieu de travail.

(b) Le nombre total de travailleurs qui ont transféré leur lieu de travail vers le pays j .

(a), (c), (d) et (e) sont toujours vraies ; (b) et (f) ne sont généralement pas vraies.

3.2

n · n · n · n

X (k 2 + 3k + 2) = X k 2 + 3 X k + X 2 k=1 · k=1 · k=1 · k=1

1 ·

1 · 1

= n (n + 1) (2n + 1) + 3 n (n + 1) + 2n = n (n 2 + 6n + 11)

6 · 2 · 3

(a + b) 6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3 b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6 . (Les coefficients sont ceux de la septième ligne du triangle de Pascal.) 5 4 3 5 4 3 2 1 5 · 5! · 5!
(a) · = · = · = · =

3 · [téléphone]! 2! 2! 3!

Formule générale

m · m(m 1) (m · k + 1) · m(m 1) (m k + 1) (m · k)!

= · =

k · k! · k!(m k)!

= · :

(m k)! k!

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16 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

8 · 8 · 8 · 8 · 8

(b) · = 56 et · = · = 56 ; · + · = 56 + 70 = 126 et

3 · 8 3 · 5 · 3 · 3+1

8+1 · 9

= · = 126.

3+1 · 4

m · m! · m

k · (m k)!k! · m k

m · m · m! · m! · m!(k + 1 + m k)

+ · = · + · =

k · k +1 · (m k)!k! (m k 1)!(k + 1)! · (m k)!(k + 1)!

(m + 1)! · m +1

= · = · :

(m k)!(k + 1)! · k +1

P n 1 · P n 1 P n 1

· i =0 (a + id ) = · i =0 a + d · i =0 i = na + d 2 [1 + (n · 1)](n 1) = na + 2 1 n (n · 1) d 3.3 3 X 4 · 3 · 3
(a) X · i 3 j = X (i 3 + i 9 + i 27 + i 81) = X 120i = 720 i =1 j =1 · i =1 · i =1 (b) On a X 2 X 4 r + s rs 2 = X 2 h 2+ s 2s 2 + 3s 2 3+ s · + 4s 2 i 4+ s s=0 r=2 · s=0

[téléphone]

3 113

=0+ · + · + · + · + · + · =5+ · :

3 · 4 · 5 · 4 · 5 · 6 · 3 600

m X · n X m X m X

n · n

i =1 j =1 · j =1 · i =1 · i =1 · j =1

Grâce aux formules (3.2.4) et (3.2.5), on peut écrire

n · m

X · X

1 · 1 · 1

2 m(m + 1) + · 6 n (n + 1) (2n + 1) = n 2 m(m + 1) + m 6 n (n + 1) (2n + 1)

j =1 · i =1

= 6 1 mn (2n 2 + 3n + 3m + 4):

P p k=1 a = pa.)

(Notez que m X

2 · m · m · m

X · X · X X

j · 2 · i 2

(d) · i = · (i + i ) = · i +

i =1 j =1 · i =1 · i =1 · i =1

= 2 1 m (m + 1) + 6 1 m (m + 1) (2m + 1) = 13 m (m + 1) (m + 2)

(a) Le nombre total d’unités du bien i .

(b) Le nombre total d’unités de tous les biens détenus par la personne j .

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CHAPITRE 3 / Notions préliminaires III : Divers · 17

P i

· j =1 a ij est la somme [nom] i éléments de la i ème ligne, chacune de ces m sommes étant P à additionner, c’est la première double somme. m i =j a ij est la somme [nom] m · j +1 éléments de la j ème colonne, chacune de ces m colonnes étant à additionner, c’est la deuxième double somme.
ā est la moyenne [nom] moyennes [nom] colonnes ā j puisque n · n · m · m · n n j =1 1 X ā j = n j =1 m r=1 1 X 1 X a rj = mn r=1 j =1 1 X X a rj = ā:

Pour démontrer (), on note que, par le fait que a rj ā est indépendant de l’indice de sommation s, il est un facteur commun quand on somme sur s. Par conséquent,

P m · P

s=1 (a rj · ā)(a sj ā) = (a rj ā) m s=1 (a sj · ā) pour chaque r. Ensuite, en sommant

sur r, on obtient

m X · X X ·

m · m · m

X · (a rj · ā) (a sj · ā) = · (a rj · ā) · (a sj · ā) · ()

r=1 s=1 · r=1 · s=1

car m s=1 (a rj · ā) est un facteur commun quand on somme sur r. Grâce aux propriétés

[nom] sommes et à la définition de ā j , on a

m · m · m

X (a rj · ā) = X a rj X ā = mā j · mā = m( ā j · ā):

r=1 · r=1 · r=1

De même, en remplaçant r par s comme indice de sommation, on a aussi

X (a sj · ā) = m( ā j · ā):

s=1

Par substitution de ces valeurs dans (), on a confirmation de ().

3.4

(a) 2x 4 = 2 ) x = 3

(b) x = 3 ) 2x 4 = 2

(d) x 2 > 4 () jxj > 2

x = 2. En effet, x = 1, 0 et 1 annulent un dénominateur. En multipliant par le dénominateur commun x (x 1) (x + 1), on obtient 2x (x 2 3x + 2) = 0 ou

2x (x · 1) (x · 2) = 0:

De là, x = 2 est la seule solution.

(a) ) vraie, ( fausse.

(b) ) fausse, ( vraie.

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18 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

(d) ) et ( vraies toutes les deux.

(e) ) fausse (0 5 = 0 4, mais 5 6 = 4), ( vraie.

(f) ) vraie, ( fausse.

(a) x > 0 est nécessaire, mais pas suffisante.

(b) x > 50 est suffisante, mais pas nécessaire.

(a) En élevant les deux membres au carré et en réordonnant les termes, on obtient x 2 = 9, de sorte que x = ˙3. Seul x = 3 est une solution.

(b) En élevant les deux membres au carré et en réordonnant les termes, on obtient x (x + 5) = 0. Tant x = 0 que x = 5 sont solutions.

p · p

(a) Si (i) x p 4 = x + 5 9, alors, en élevant les deux membres au carré, on obtient (ii) x 4 = ( x + 5 9) 2 . Après développement du carré dans le membre de droite p · p de (ii), on obtient x 4 = x + 5 18 x + 5 + 81, qui se réduit à 18 x + 5 = 90 ou p x + 5 = 5, impliquant x + 5 = 25 et donc x = 20. Cela montre que, si x est une solution de (i), alors x = 20. Aucune autre valeur de x ne peut vérifier (i). Mais si on vérifie cette solution, on trouve que quand x = 20 p le membre de gauche de (i) devient p 16 = 4, tandis que le membre de droite devient 25 9 = 5 9 = 4. Cela signifie que l’équation (i) n’a en fait pas de solution. (Remarquez que 4 2 = ( 4) 2 , c’est-à-dire que le carré du membre de gauche est égal au carré du membre de droite. C’est pourquoi la solution fausse x = 20 a réussi p à s’infiltrer.) p (b) Si x est une solution de (iii) x 4 = 9 · x + 5, alors, exactement comme p dans la partie (a), on trouve que x doit être une solution de (iv) x · 4 = (9 · x + 5 ) 2 . p · 2 · p · 2 Maintenant, (9 · x + 5 ) = ( x + 5 9) , de sorte que l’équation (iv) est équivalente à l’équation (ii) dans la partie (a). Cela signifie que (iv) a exactement une solution, à savoir x = 20. Si on remplace x par cette valeur dans (iii), on trouve que x = 20 est une solution de (iii).
(a) Si et seulement si. (Notez que 4 signifie 2, pas ˙2.) p (b) Seulement si. Il est facile de voir, à partir d’un tableau de signes, que x (x + 3) < 0 exactement lorsque x appartient à l’intervalle ouvert ] 3; 0[. Par conséquent, on a une implication de gauche à droite, mais pas dans l’autre sens. (Par exemple, si x = 10, alors x (x + 3) = 130.) (c) Seulement si. x 2 < 9 () 3 < x < 3, de sorte que x 2 < 9 seulement si x < 3.

Si x = 5, par exemple, on a x < 3 mais x 2 > 9.

(d) Si et seulement si. Comme x 2 + 1 n’est jamais nul, ici on a ssi.

(e) Si. Si x > 0, alors x 2 > 0 aussi quand x < 0.

(f) Seulement si. x 4 + y 4 = 0 () x = 0 et y = 0. Si x = 0 et, disons, y = 1, alors x 4 + y 4 = 1. Le si n’est donc pas correct.

(a) Si x et y ne sont pas tous les deux positifs, au moins l’un [nom] deux doit être strictement négatif, c’est-à-dire x < 0 ou y < 0.

(b) Si tous les x ne sont pas supérieurs ou égaux à a, au moins un x doit être inférieur à a.

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CHAPITRE 3 / Notions préliminaires III : Divers · 19

(d) Il existe un " > 0 tel que B ne soit pas satisfaite quel que soit ı > 0.

(e) Quelqu’un peut ne pas aimer les chats.

(f) Quelqu’un n’aime jamais personne.

Exercices récapitulatifs du chapitre 3

1 · 1 · 1 · 1 · 17

(a) · + · + · + · =

[téléphone]

(b) 2 2 + 4 2 + 6 2 + 8 2 + 10 2 = 220

0 1 2 3 4 21

2 3 4 5 6 10

(a) 1 2 4 + 2 2 5 + 3 2 6 + 4 2 7 = 4 + 20 + 54 + 112 = 190 1 · 5 (b) 1 · 6 = 6 (c) 1 2 + 2 1 + 3 0 + 4 1 + 5 2 + 6 3 = 1 + 1=2 + 1 + 4 + 25 + 216 = 495 2

100

(a) X (2n + 1) n=1

k +1

(b)

k=1

(a) X i (i + 2) i =4 n

(b)

x i

i =1

x 2j

(c)

2j + 1 j =0

(d) · ( 1) k 1

k=1

(a) Correcte. Les deux sommes sont égales à a 1 + a 2 + + a n .

P · P · P P P

n · n · n · n · 5

(b) Faux en général. (a i + b i ) 2 = (a i 2 + 2a i b i + b i 2 ) = · a i 2 + b i 2 + 2 a i b i .

i =1 · i =1 · i =1 · i =1 · i =1

P · P 3

3 a i · a 1 a 2 a 3 · a i a 1 + a 2 + a 3

= + + , alors que P i 3 =1 =

(d) Faux en général. · et les deux

i =1 i b · b 1 · b 2 · b 3 · i =1 b i · b 1 + b 2 + b 3

expressions ne sont manifestement pas égales. (Posez, par exemple, tous les a i et b i égaux à 1.)

(a) ) vrai, ( faux.

(b) ) faux (car x 2 = 16 a aussi comme solution x = 4), ( vraie, car, si x = 4, alors x 2 = 16.

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20 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

(d) ) et ( toutes les deux vraies, car l’équation x 3 = 8 a comme solution x = 2 et aucune autre. (Dans les termes de la section 6.3, la fonction f (x) = x 3 est strictement croissante. Voir exercice 6.3.3 et le graphique de la figure 4.2.7.)

A\B = f1; 4g ; A[B = f1; 3; 4; 6g ; AnB = f3g ; BnA = f6g ; (A[B)n(A\B) = f3; 6g ;

A [ B [ C [ D = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ; A \ B \ C = f4g et A \ B \ C \ D = ;.

D’après l’exercice 3.R.3(a), il y a 100 termes. En se servant de la même astuce que celle employée pour déduire la formule (3.1.3), il vient

R = · 3+ · 5+ 7 + + 197 + 199 + 201

R = 201 + 199 + 197 + + · 7+ · 5+ · 3:

On additionne terme à terme

2R = 204 + 204 + 204 + + 204 + 204 + 204 = 100 204 = 20 400:

D’où R = 10 200.

(b) S = 1 001 + 2 002 + 3 003 + + 8 008 + 9 009 + 10 010

= 1 001 (1 + 2 + 3 + + 8 + 9 + 10) = 1 001 55 = 55 055

(a) (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2 > 1 + 2x pour tout x puisque x 2 > 0.

(b) (1 + x) 3 = 1 + 3x + 3x 2 + x 3 = 1 + 3x + x 2 (3 + x) > 1 + 3x pour tout x > 3, puisque x 2 (3 + x) > 0 pour tout x > 3.

Par hypothèse, on suppose que (1 + x) k > 1 + kx pour un entier quelconque k. Comme

1 + x > 0, on a

(1 + x) k+1 = (1 + x) k (1 + x) > (1 + kx) (1 + x) = 1 + (k + 1) x + kx 2 > 1 + (k + 1) x;

la dernière inégalité étant justifiée par le fait que k > 0. Par conséquent, l’inégalité de Bernoulli est vraie, quel que soit l’entier naturel n.

Chapitre 4 / Les fonctions d’une variable

4.2

(a) f p (0) = 0 2 p + 1 = 1, f ( 1) = ( 1) 2 + 1 = 2, f (1=2) = (1=2) 2 + 1 = 1=4 + 1 = 5=4, et f ( 2) = ( 2) 2 + 1 = 2 + 1 = 3.

(b) (i) Puisque ( x) 2 = x 2 , f (x) = f ( x) pour tout x.

(ii) On a f (x + 1) = (x + 1) 2 + 1 = x 2 + 2x + 1 + 1 = x 2 + 2x + 2 et f (x) + f (1) = x 2 + 1 + 2 = x 2 + 3:

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CHAPITRE 4 / Les fonctions d’une variable · 21

Cette égalité est vérifiée si et seulement si x 2 +2x +2 = x 2 +3, c’est-à-dire si et seulement si x = 1=2.

(iii) f (2x) = (2x) 2 + 1 = 4x 2 + 1 et 2f (x) = 2x 2 + 2. On a ainsi p

4x 2 + 1 = 2x 2 + 2 , x 2 = 1=2 , x = ˙ 1=2 = ˙ 1 p

F (0) = F ( 3) = 10, F (a + h) · F (a) = 10 · 10 = 0.
(a) f (0) = 0, f (a) = a 2 , f ( a) = a 2 ( a a) 2 = 3a 2 et f (2a) = 0.

(b) 3f (a) + f ( 2a) = 3a 2 + [a 2 ( 2a a) 2 ] = 3a 2 + a 2 9a 2 = 5a 2 .

(a) f ( 1=10) = 10=101, f (0) = 0, f (1= 2) = 2=3, f ( ) = =(1 + ), p · p · p · p f (2) = 2=5.

(b) f ( x) = x=(1 + ( x) 2 ) = x=(1 + x 2 ) = f (x) et f (1=x) = (1=x)=[1 + (1=x) 2 ] = (1=x) x 2 =[1 + (1=x) 2 ] x 2 = x=(1 + x 2 ) = f (x).

F (0) = 2, F ( 3) = 19, F (t + 1) = t 2 + 3. p · p
(a) C (0) = 1 000, C (100) = 41 000 et C (101) C (100) = 501.

(b) C (x + 1) C (x) = 2x + 301 = coût supplémentaire dû au passage de la production de x à x + 1.

(a) D(8) = 4, D(10) = 3;4 et D(10;22) = 3;334.

(b) P = 10;9.

(a) f (tx) = 100 (tx) 2 = 100t 2 x 2 = t 2 f (x) (b) P (tx) = (tx) 1=2 = t 1=2 x 1=2 = t 1=2 P (x)
(a) b (0) = 0, b (50) = 100=11, b (100) = 200.

(b) b (50+h) b (50) est le coût additionnel d’enlever h % de plus que 50 % d’impuretés.

(a) Non : f (2 + 1) = f (3) = 18, alors que f (2) + f (1) = 8 + 2 = 10.

(b) Oui : f (2 + 1) = f (2) + f p (1) = 9. · p

(a) f (a + b) = A(a + b) = Aa + Ab = f (a) + f (b) (b) f (a + b) = 10 a+b = 10 a 10 b = f (a) f (b)
Voir les figures C4.2.12a et C4.2.12b.

1 · x ·1 · 1·1 · 1

x · x 2 · 1· x · x

x · 1 · x

Figure C4.2.12a L’aire vaut · Figure C4.2.12b L’aire vaut x 2 +1.

(x + 1) = x + 2x + 1. 2 · 2

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22 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

(a) Il faut 5 x > 0, soit x 6 5.

(b) Le dénominateur x 2 x = x (x 1) doit être différent de 0, de sorte que x 6 = 0 et x 6 = 1.

(c) Pour commencer, le dénominateur doit être différent de 0. Ce qui exige x 6 = 2 et x 6 = 3. En outre, comme on ne peut prendre la racine carrée que d’un nombre positif, la fraction (x 1)=(x 2) (x + 3) doit être positive. Un tableau de signes révèle que D f =] 3; 1] [ [2; +1[. Notez en particulier que la fonction est définie en x = 1 où elle vaut 0.

(a) Définie pour x 6 = 2 ou D f =] 1; 2[[]2; +1[.

(b) f (8) = 5

3x + 6

x 2

Puisque g est manifestement définie pour x > 2, D g = [ 2; +1[. Notez que g( 2) = 1 et g(x) 6 1 pour tout x 2 D f . Lorsque x va de 2 à +1, g(x) décroı̂t de 1 à 1, de sorte que R g =] 1; 1].

4.3

Voir figure C4.3.1.
(a) f ( 5) = 0, f ( 3) = 3, f ( 2) = 0, f (0) = 2, f (3) = 4, f (4) = 0.

(b) D f = [ 5; 4], R f = [ 3; 4].

(0, 4)

(2, 3)

(− 3, 2)

1 · (4, 0)

(− 3/ 2, − 2)

Figure C4.3.1

x · 0 · 1 · 2 · 3 · 4

g(x) = · 2x + 5 · 5 · 3 · 1 · 1 · 3

Voir figure C4.3.3.

x · 2 · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 · 4

h(x) = x 2 · 2x · 3 · 5 · 0 · 3 · 4 · 3 · 0 · 5

Voir figure C4.3.4.

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CHAPITRE 4 / Les fonctions d’une variable

y · y

5 · 5

4 · 4

3 · 3 · 2

2 · 2

1 · 1

−1 · 1 2 3 4 x · − 2 −1 · 1 2 3 4 x · 22 21 · 1

−2 · −2 · 21

−3 · −3

−4 · −4

Figure C4.3.3 · Figure C4.3.4 · Figure C4.3.5

x · 2 · 1 · 0 · 1 · 2

F (x) = 3 x · 1=9 · 1=3 · 1 · 3 · 9

x · 2 · 1 · 0 · 1 · 2

G(x) = 1 · 2 x · 3 · 1 · 0 · 1=2 · 3=4

4.4

(a) (8 3)=(5 · 2) = 5=3

(b) 2=3

Voir figures C4.4.2a, C4.4.2b et C4.4.2c. y · y

2 · x · 22 21 · 1 · 2 · 3 · x

Figure C4.3.6

Voir figure C4.3.5.

Voir figure C4.3.6.

7=8

8 9 10 x

3 · 1 2 · 3 4 · 5 6 7

−1

2 · −2

−3

−4

1 · 3 · x −5

Figure C4.4.2a · Figure C4.4.2b

1 · 2 · 3 · 4 · 5 x

−1

Figure C4.4.2c

Si D = a + bP , alors a + 10b = 200 et a + 15b = 150. La solution en a et b est a = 300 et b = 10, de sorte que D = 300 10P .
d 1 : La pente vaut 1 et la formule (2) avec (x 1 ; y 1 ) = (0; 2) et a = 1 donne y = x + 2.

0 3

d 2 : La formule (3) avec (x 1 ; y 1 ) = (0; 3) et (x 2 ; y 2 ) = (5; 0) fournit y 3 =

y = 5 x + 3.

d 3 est la droite d’équation y = 1, de pente 0.

d 4 est la droite d’équation y = 3x 14, de pente 3.

d 5 est la droite d’équation y = 9 1 x + 2, de pente 1/9.

x ou 5 0

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24 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

(a), (b) et (d) sont du premier degré ; (c) est du second degré.
Si P est le prix de Q copies, alors, par la formule (3),

3 000 · 1 400

P · 1 400 = · (Q · 100) ou P = 1 000 + 4Q:

500 · 100

Le prix d’impression de 300 copies est donc P = 1 000 + 4 300 = 2 200:

(a) d 1 : y 3 = 2 (x 1) ou y = 2x + 1.

(b) d 2 : y 2 = 3 3 ( 2 2) [x ( 2)] ou y = x=5 + 12=5.

(d) d 4 : x=a + y=b = 1 ou y = bx=a + b.

(a) Voir les figures C4.4.8a, C4.4.8b et C4.4.8c. y · y · y

1 · 1

1 · x · −1 · 1 · x · 1 · x

Figure C4.4.8a · Figure C4.4.8b · Figure C4.4.8c

Pour (a), la figure C4.4.9a montre que la solution est x = 3, y = 2. Pour (b), la fi- gure C4.4.9b montre qu’il n’y a pas de solutions, puisque les deux droites sont parallèles.

Pour (c), la figure C4.4.9c montre que la solution est x = 2, y = 0.

y · y

x − y = 5 · 1

x · x

1 · 1

(3, − 2)

6x + 8y = 6

x + y = 1 · 3x + 4y = 1

Figure C4.4.9a · Figure C4.4.9b

x − y = 2

1 · x − 2y = 2

(2, 0)

x + y = 2

Figure C4.4.9c

Mathématiques pour l’économie · MATHSECOCORRPARTIEL.TEX, 11 June 2014, 18:49 · Page 24

CHAPITRE 4 / Les fonctions d’une variable · 25

Les points dont les coordonnées satisfont à l’inégalité 3x + 4y 6 12 sont ceux qui se trouvent sur ou sous la droite d’équation 3x + 4y = 12, comme expliqué à l’exemple 6 pour une inégalité semblable. Les points dont les coordonnées satisfont à l’inégalité x y 6 1, ou, de façon équivalente, y > x 1, sont ceux qui se trouvent sur ou au-dessus de la droite d’équation x y = 1. Enfin, les points dont les coordonnées satisfont à l’inégalité 3x + y > 3, ou, de façon équivalente, y > 3 3x, sont ceux qui se trouvent sur ou au-dessus de la droite d’équation 3x + y = 3. L’ensemble de tous les points qui satisfont aux trois inégalités est ombré dans la figure C4.4.10. y x − y = 1 3

2 · 3 · 4

3 x + 4y = 12

3x + y = 3

Figure C4.4.10

4.5

0,78
(a) 75 3P e = 20 + 2P e et, de là, P e = 11.

(b) P e = 90

275 200 · 3

La formule (3) donne C · 200 = · (x 100) ou C = x + 50.

150 100 · 2

C = 0;8y + 100. (Avec C = ay + b, on sait que 900 = 1 000a + b et a = 80=100 = 0;8, de sorte que b = 100.)
(a) P (t ) = [téléphone]t

(b) W (t ) = 500 50t

(a) Avril 1960 correspond à t = 9=4, quand

N (9=4) = 17 400 (9=4) + 151 000 = 111 850:

(b) 17 400 t + 151 000 = 0 implique t = 8;68, ce qui correspond environ à septembre

1966.

4.6

x · 1 · 0 · 1 · 2 · 3 · 4 · 5

(a) f (x) = x 2 · 4x · 5 · 0 · 3 · 4 · 3 · 0 · 5

Voir figure C4.6.1.

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26 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

(b) Minimum en x = 2, avec f (2) = · 4.

4 · y

3 · 3

2 · f (x) = x 2 − 4x · 2 · f(x) = − 2 1 x 2 − x + 2 3

1 · 1

6 x · − 4 − 3 − 2 − 1 · 1 2 3 x

− − 1 1 · 1 · 2 3 · 4 · 5 · − 1

−2 · − 2

−3 · − 3

−4 · − 4

Figure C4.6.1 · Figure C4.6.2

x · 4 · 3 · 2 · 1 · 0 · 1 · 2

1 2

f (x) = · x · x + 2 3 · 2;5 · 0 · 1;5 · 2 · 1;5 · 0 · 2;5

Voir figure C4.6.2.

(b) Maximum en x = 1 où f ( 1) = 2.

(d) f (x) > 0 en ( 3; 1), f (x) < 0 pour x < · 3 et pour x > 1.

(a) Minimum 4 quand x = 2.

(b) Minimum 9 quand x = 3.

(d) Minimum 45 quand x = 1=3.

(e) Maximum 40 000 quand x = 100.

(f) Minimum 22 500 quand x = 50.

(a) x (x + 4). Racines 0 et 4.

(b) Pas de factorisation possible. Pas de racines.

p · p

15.

(d) 9 (x x 1 ) (x x 2 ), où les racines sont x 1 = 1=3 + 5 et x 2 = 1=3 · 5.

(e) (x + 300) (x 100). Racines 300 et 100.

(f) (x + 200) (x 100). Racines 200 et 100.

(a) x = 2p et x = p.

(b) x = p et x = q.

U (x) atteint un maximum en x = 4 (r · 1)=(1 + r 2 ). (Après développement, U (x) = (1 + r ) x + 8 (r 1) x. Ensuite, on applique (4.6.4) avec a = (1 + r 2 ) 2 · 2 et b = 8 (r 1).)
(a) Les aires quand x = 100, 250 et 350 sont respectivement 100 400 = 40 000, 250 250 = 62 500 et 350 150 = 52 500.

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CHAPITRE 4 / Les fonctions d’une variable · 27

(b) L’aire est égale à A = (250 + x) (250 x) = 62 500 · x 2 , qui manifestement atteint

un maximum en x = 0. Le rectangle est alors un carré.

(a) (Q) = (P UK P G · )Q = 2 1 Q 2 + (˛ 1 ˛ 2 · )Q.

(b) Par (4), on voit que Q = ˛ 1 ˛ 2 · rend le profit maximal si ˛ 1 ˛ 2 · > 0.

Si ˛ 1 ˛ 2 · 6 0, alors Q = 0.

(d) T = tQ = t (˛ 1 ˛ 2 · t ). T est une fonction du deuxième degré en t ; elle

vaut 0 quand t = 0 et quand t = t 1 = ˛ 1 ˛ 2 · , et elle est strictement positive pour

t compris entre 0 et t 1 .

(e) La taxe à l’exportation est maximale quand t = 2 1 (˛ 1 ˛ 2 · ).

(a) 361 6 377

(b) On trouve quef (x) = Ax 2 + Bx + C , où

A = a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 ; B = 2 (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) et C = b 1 2 + b 2 2 + + b n 2 :

Maintenant, si B 2 4AC > 0, alors, en accord avec la formule (2.3.4), l’équation f (x) = Ax 2 + Bx + C = 0 devrait avoir deux solutions distinctes, ce qui contredit f (x) > 0 pour tout x. Donc B 2 4AC 6 0 et la conclusion en découle.

Exercices récapitulatifs du chapitre 4

(a) f (0) = 3, f ( 1) = 30, f (1=3) = 2, f ( 3 2) = 3 27 (2 1=3 ) 3 = 3 272 = p 51.

(b) f (x) + f ( x) = 3 27x 3 + 3 27 ( x) 3 = 3 27x 3 + 3 + 27x 3 = 6.

(a) F (0) = 1, F ( 2) = 0, F (2) = 2 et F (3) = 25=13.

(b) F (x) = 1 + · tend vers 1 lorsque x devient grand positif ou négatif.

x + 4=x

F( x) = 1 + x 4x 2 +4

−4 · −3 · −2 · −1 · 1 · 2 · 3 · 4 x

Figure C4.R.2

(i) f (x) 6 g(x) quand 2 6 x 6 3.

(ii) f (x) 6 0 quand 1 6 x 6 3.

(iii) g(x) > 0 quand x 6 3.

(a) x 2 > 1, c’est-à-dire x > 1 ou x 6 1.

(b) La racine carrée n’est définie que si x > 4, mais comme x = 4 rend le dénominateur nul, il faut exiger x > 4.

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28 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

(a) C (0) = 100, C (100) = 24 100 et C (101) C (100) = [téléphone] = 442.

(b) C (x + 1) C (x) = 4x + 42 est le coût additionnel dû à la production d’une unité supplémentaire.

(a) Pente 4.

(b) Pente 3=4.

(a) La formule (2) donne y · 3= · 3 (x + 2) ou y = 3x 3.

7 5

(b) La formule (3) donne y · 5= · (x ( 3)) ou y = 2x=5 + 31=5.

2 ( 3)

3b b

2a a

f (2) = 3 et f ( 1) = 3 entraı̂nent 2a + b = 3 et a + b = 3, de sorte que a = 2, b = 1. De là, f (x) = 2x 1 et f ( 3) = 7. (Ou par la formule (3).)
Le graphique est tracé à la figure C4.R.9. x · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 · 0 · 1 y = x 2 e x · 0;17 · 0;29 · 0;45 · 0;54 · 0;37 · 0 · 2;7 y

−5 · −4 · −3 · −2 · −1 · 1 · 2 · x

Figure C4.R.9

(1; 3) appartient au graphique si a + b + c = 3, (0; 6) appartient au graphique si c = 6 et (3; 15) appartient au graphique si 9a + 3b + c = 15. Par conséquent, a = 2, b = 1 et c = 6.
(a) = 1 000 13 Q Q 800 + 15 Q Q 100Q = 100Q 15 · 8 Q 2 . Ici, Q = 1 500=16, c’est-à-dire Q = 93;75, rend maximal.

8 · 8

(b) = 100Q 15 Q 2 10Q = 90Q 15 Q 2 . Donc, Q̂ = 1 350=16 = 84;375 rend maximal.

Le nouveau profit est donné par t = 100Q · 5 2 2 Q · tQ, qui atteint son maximum en Q t = 15 (100 t ).
(a) La fonction de profit est (x) = 100x · 20x · 0;25x 2 = 80x · 0;25x 2 , maximal en x = 160.

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CHAPITRE 4 / Les fonctions d’une variable · 29

(b) La fonction de profit est t (x) = 80x 0;25x 2 10x, maximal en x = 140.

(a) p(x) = x (x 2 + x 12) = x (x 3) (x + 4), car x 2 + x 12 = 0 pour x = 3 et x = 4.

(b) ˙1, ˙2, ˙4, ˙8 sont les seules racines entières possibles. Par essai et erreur, on trouve q(2) = q( 4) = 0, de sorte que 2 (x 2) (x + 4) = 2x 2 + 4x 16 est un facteur de q(x). La division polynomiale fournit le quotient q(x) (2x 2 + 4x 16) = x 1=2.

Finalement, q(x) = 2 (x 2) (x + 4) (x 1=2).

(a) x 3 x 1 n’est pas nul en x = 1, de sorte que la division laisse un reste.

(b) 2x 3 x 1 est nul en x = 1, de sorte que la division ne laisse pas de reste.

(d) x 2n 1 est nul en x = 1, de sorte que la division ne laisse pas de reste.

On utilise (4.7.5).

(a) p(2) = 8 2k = 0 pour k = 4.

(b) p( 2) = 4k 2 + 2k 6 = 0 pour k = 3=2 et k = 1.

(d) p(1) = k 2 3k 4 = 0 pour k = 1 et k = 4.

Un calcul direct montre que p(2) = 4 1 2 3 2 2 11 15 · 4 11 · 15 4 2+ 2 = 2 · 2 + 2 = 0. En conséquence, x 2 est un facteur de p(x). La division de p(x) par ce facteur donne p(x)(x 2) = 4 1 (x 2 2x 15) = 4 1 (x +3) (x 5). Les deux autres racines sont x = 3 et x = 5. (Autre possibilité : q(x) a les mêmes racines que 4p(x) = x 3 4x 2 11x + 30.

Les racines entières de ce polynôme ne peuvent être que ˙1, ˙2, ˙3, ˙5, ˙10, ˙15 et ˙30. Il est fastidieux de chercher les racines de cette manière.)

(1 + p=100) 15 = 2 donne p = 100 (2 1=15 1) 4;7 comme taux moyen annuel.
Pour le graphique de gauche, on remarque que, pour x 6 = 0, on a a + b=x y = f (x) = · ;

1 + c=x

de sorte que y tend vers a lorsque x devient grand positif ou négatif. Le graphique montre que a > 0. La fonction n’est pas définie en x = c et sur le graphique c > 0, donc c < 0. f (0) = b=c > 0, d’où b < 0.

Le graphique de la fonction du deuxième degré g est une parabole convexe, aussi p > 0.

De plus, r = g(0) < 0. Finalement, g(x) atteint son minimum en x = x = q=2p.

Comme x > 0 et p > 0, on conclut que q < 0.

(a) Soit F = aC +b. Alors 32 = a0+b et 212 = a100+b. D’où a = 180=100 = 9=5 et b = 32, de sorte que F = 9C =5 + 32.

(b) Si X = 9X=5 + 32, alors X = 40.

(a) ln x = ln e at +b = at + b, de sorte que t = (ln x b)=a.

(b) at = ln(1=2) = ln 1 ln 2 = ln 2, d’où t = (ln 2)=a.

1 2

5 · 1

2 ln 2 + 2 ln ,

puis t 2 = 5 ln 2 ln = ln(32=) et finalement t = ˙ ln 32= . q ·

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30 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

(a) ln(x=e 2 ) = ln x ln e 2 = ln x 2 pour x > 0.

(b) ln(xz=y) = ln(xz) ln y = ln x + ln z ln y pour x; y; z > 0.

(d) Quand x > 0, notez que

1 · 3 · 1 · 3

ln x · ln(1=x) · ln(x + 1) = · ln x · ( ln x) ln(x + 1) = 2 ln x · ln(x + 1)

2 · 2 · 2 · 2

= ln x 2 ln(x + 1) = ln[x 2 =(x + 1)]:

Chapitre 5 / Les propriétés [nom] fonctions

5.1

(a) y = x 2 + 1 a comme graphique celui de y = x 2 translaté vers le haut de 1 unité. Voir figure C5.1.1a.

(b) y = (x + 3) 2 a comme graphique celui de y = x 2 déplacé de 3 unités vers la gauche.

Voir figure C5.1.1b.

(c) y = 3 (x + 1) 2 a comme graphique celui de y = x 2 renversé vers le bas, avec le sommet (0; 0) déplacé en ( 1; 3). Voir figure C5.1.1c.

y · y · y

1 · 1

1 x · −1 · x · −1 · x

Figure C5.1.1a · Figure C5.1.1b · Figure C5.1.1c

(a) Le graphique de y = f (x) est translaté de 2 unités vers la droite. Voir figure C5.1.2a.

(b) Le graphique de y = f (x) est translaté vers le bas de 2 unités. Voir figure C5.1.2b.

y · y · y

1 · 1 · 1

1 · x · 1 x · 1 · x

Figure C5.1.2a · Figure C5.1.2b · Figure C5.1.2c

La condition d’équilibre est 106 P = 10 + 2P et donc P = 32. La quantité corres- pondante est Q = 106 32 = 74. Voir figure C5.1.3.

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CHAPITRE 5 / Les propriétés [nom] fonctions · 31

P = 100 − D

P = 106 − D̃

y · y

P = 1 S − 5

32 · 1

−1 · x · −2 · x

Q , D , D̃ , S

Figure C5.1.3 · Figure C5.1.4 · Figure C5.1.5

On déplace y = jxj de 2 unités vers la gauche. Ensuite, on en prend l’image par une réflexion par rapport à l’axe Ox et, enfin, on translate le graphique de 2 unités vers le haut. Voir figure C5.1.4.
On trace le graphique de y = 1=x 2 . On le translate de 2 unités vers la gauche. Puis, on en prend l’image symétrique par rapport à l’axe Ox et, enfin, on le monte de 2 unités vers le haut. C’est la figure C5.1.5.
f (y d ) = f (y ) c donne A(y d ) + B(y d ) 2 = Ay + B(y ) 2 · c ou Ay Ad + B(y ) 2 2Bdy + Bd 2 = Ay + B(y ) 2 c. D’où y = [Bd 2 · Ad + c]=[adresse]

5.2

Voir figure C5.2.1.

1 x 2 · y

1/x

Figure C5.2.1

y · y

aQ 2 + bQ + c

Figure C5.2.2a · Figure C5.2.2b · Figure C5.2.2c

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32 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

Voir figures C5.2.2a à C5.2.2c.
(f + g) (x) = 3x, (f g) (x) = 3x 2x 3 , (fg) (x) = 3x 4 · x 6 , (f =g) (x) = 3=x 2 · 1, f (g(1)) = f (1) = 2 et g(f (1)) = g(2) = 8.
Si f (x) = 3x +7, alors f (f (x)) = f (3x +7) = 3 (3x +7)+7 = 9x +28. f (f (x )) = 100 exige 9x + 28 = 100, de sorte que x = 8.
ln(ln e) = ln 1 = 0, alors que (ln e) 2 = 1 2 = 1. f ( x) + f (x) f (x) + f ( x)
g( x) = · = · = g(x)

2 · 2

(a) Ni l’un, ni l’autre.

(b) Ni l’un, ni l’autre.

(d) Impaire.

(e) Ni l’un, ni l’autre.

(f) Paire.

(g) Impaire.

(h) Paire.

(i) Impaire.

5.3

P = 3 1 (64 · 10D)
P = (157;8=D) 10=3
(a) Domaine de définition et ensemble image : R ; x = y=3.

(b) Domaine de définition et ensemble image : R n f0g ; x = 1=y.

(d) Domaine de définition [4; +1[, ensemble image [0; +1[ ; x = (y 2 + 2) 2 .

(a) Comme tous les nombres de la deuxième ligne du tableau sont différents, f admet une fonction réciproque qui envoie chaque nombre de la deuxième ligne sur son corres- pondant dans la première ligne.

Le domaine de définition de f 1 est f 4; 2; 0; 2; 4; 6; 8g et f 1 (2) = 1.

(b) Comme f (x) augmente de 2 unités à chaque accroissement unitaire de x, f (x) est de la forme 2x + a pour une constante convenable a. Or, f (0) = 4. Donc f (x) = 2x + 4.

Si y = 2x + 4, alors x = (y 4)=2 et la formule de f 1 est f 1 (x) = 2 1 x 2.

f (x) = x 2 n’est pas injective sur ] 1; +1[ et n’a donc pas de réciproque. Sur [0; +1[, p f est strictement croissante et, de ce fait, admet une réciproque f 1 (x) = x.
(a) f (x) = x=2 et g(x) = 2x sont [nom] fonctions réciproques.

(b) f (x) = 3x 2 et g(x) = 3 1 (x + 2) sont [nom] fonctions réciproques.

f 1 (C ) détermine le coût de C kilos de carottes.
(a) Voir figure C5.3.8a.

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CHAPITRE 5 / Les propriétés [nom] fonctions · 33

y · y

y = x · y = x

C = (b,a)

(3, 5)

(1, 3) · (5, 3)

A = (a,b)

(3, 1)

x · O · E · x

Figure C5.3.8a · Figure C5.3.8b

(b) Voir figure C5.3.8b. Les triangles OBA et OBC sont isométriques. Le point milieu entre A et C est le point B de coordonnées ( 2 1 (a + b); 2 1 (a + b)).

(a) (x 3 1) 1=3 = y () x 3 1 = y 3 () x = (y 3 + 1) 1=3 . Si x désigne la variable indépendante, f 1 (x) = (x 3 + 1) 1=3 . R est le domaine de définition et l’ensemble image

[nom] deux fonctions f et f 1 .

(b) Le domaine de définition est l’ensemble [nom] réels à l’exception de x = 2 et, dans ce cas,

x +1 · 2y 1 2y + 1

x 2 = y , x + 1 = y (x · 2) (1 · y) x = · 2y 1 , x = · 1 y · = y 1 :

Avec x comme variable indépendante, f 1 (x) = (2x + 1)=(x 1). Le domaine de définition de la réciproque est l’ensemble [nom] réels, à l’exception de x = 1.

y = (1 x 3 ) 1=5 + 2 , y · 2 = (1 x 3 ) 1=5 , (y · 2) 5 = 1 · x 3

, x 3 = 1 · (y 2) 5 , x = [1 · (y · 2) 5 ] 1=3 :

Avec x comme variable indépendante, f 1 (x) = [1 (x 2) 5 ] 1=3 . R est le domaine de définition et l’ensemble image [nom] deux fonctions f et f 1 .

(a) Le domaine de définition est R et l’ensemble image, ]0; +1[ de sorte que la récipro- que est définie sur ]0; +1[. De y = e x+4 , on a ln y = x + 4 et, de là, x = ln y 4, y > 0.

(b) L’ensemble image est R , qui est le domaine de définition de la réciproque. De y = ln x 4, on tire ln x = y + 4, et ainsi x = e y+4 .

(c) Le domaine de définition est R . La fonction y est strictement croissante, avec y ! ln 2 lorsque x ! 1 et y ! 1 lorsque x ! +1. L’ensemble image est donc ] ln 2; +1[. De y = ln 2 + e x 3 , on tire e y = 2 + e x 3 , puis e x 3 = e y 2 et enfin x = 3 + ln(e y 2) pour y > ln 2.

Il faut résoudre x = 2 1 (e y e y ) par rapport à y. On multiplie l’équation par e y , ce qui donne 2 1 e 2y 2 1 = xe y ou e 2y 2xe y 1 = 0. En posant e y = z, on a z 2 2xz 1 = 0, p · 2 p est z = x ˙ x + 1. Celle avec le signe moins est négative. dont la solution On retient z = e = x + x + 1. D’où, la fonction réciproque est y = ln x + x 2 + 1 . y · 2 · p

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34 · CORRIGÉS [nom] EXERCICES

Exercices récapitulatifs du chapitre 5

Les translations à appliquer à y = jxj sont les mêmes que celles appliquées à y = x 2 à l’exercice 5.1.1. Voir figures C5.R.1(a) - (c). y · y y = | x |+ 1 · y = | x + 3| x · x

Figure C5.R.1a · Figure C5.R.1b

y = 3 − | x + 1 |

Figure C5.R.1c

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